수학의 직관적 사고 및 결함

수학의 직관적 사고-직관에 관한 정의

수학의 직관적 사고를 알려면 직관에 관한 정의를 먼저 내려야 한다. 직관이랑 무엇인지 사전에서 정의하자면 '지식이나 정신적인 지각에 대한 어떤 논리적인 추론 과정의 개입이 없는 즉각적인 이해'라고 정의되어 있다. 루돌프 아른하임은 모든 지각은 또한 사고이고, 모든 이지는 또한 직관이며, 모든 관찰은 또한 발명이다라고 말했다. 이처럼 직관 교육은 수학 교육뿐만 아니라 다른 모든 교육에도 중요하다는 걸 알 수 있다. 슈마르트는 이성적이고 계통적인 것에 반대하여 자발적이고 순간적으로 자주 일어나지만 항상은 아닌, 갑작스러운 파악력의 정신적 능력이다라고 정의했다. 부르너는 직관적 사고, 직감의 훈련은 매우 소홀히 되고 있으나 생산적 사고의 필수적인 부분이다라고 하면서 통찰력 있는 예측, 풍부한 가정, 잠정적 결론으로의 용기 있는 비약 등과 같은 것은 사고를 하고 있는 사람들에게는 가장 유용한 동전과 같은 것이다 라고 정의한 바 있다. 또한 부르너는 직관적 사고자는 논리적 사고자들이 할 수 없는 문제를 발명하거나 발견할 수도 있다고 말하고 있다. 이 말은 즉 직관은 반드시 창조적인 성격을 갖는 수학에 접근하는 첫 단계가 되어야 한다는 말과도 같은 것이다. 창조적인 수학은 필연적으로 이 직관과 관련되어 있다. 직관적 사고 없이는 창조적인 수학이 생길 수 없다는 말과도 같다. 그래서 직관은 사고의 대상을 인지하는 활동으로서 다소 명확하지 않지만 전체를 감지할 수 있게 하고 이론 전개의 방향과 기틀을 마련해 주는 역할을 한다. 또한 구체에서 논리의 방향을 시사해 주는 작용을 한다. 도형의 성질이나 개념을 살펴볼 때 우리가 먼저 해야 하는 것은 바로 수학의 직관적 사고다. 직관적 사고 없이는 도형을 이해하기 불가능하기 때문이다. 도형의 개념을 형성하거나 도형의 성질을 발견하게 하기 위하여 아동들은 직관과 논리의 활동으로 학습하게 된다. 그래서 여러 가지 사각형에서 직관적 판단으로 도형의 특징을 찾아 직사각형의 개념을 정의하는 경우에는 직관력을 배양할 수 있다. 무엇인가를 정리하거나 성질을 활용하거나 공식을 활용할 때 그것들이 논리적으로 참인지의 정당성을 확보하기 위하여 우리는 증명의 과정과 직관적 사고를 거친다. 직관적 사고는 왜 그와 같은 정리나 성질, 공식이 발견되었는지에 대한 이해가 가능하게끔 한다. 정리, 공식을 활용이라는 측면에서 무조근 암기하고 문제를 푸는 데만 적용한다면 학생들에게 수학에 대한 혐오감을 줄 수 있다. 모든 경우를 정리, 성질, 공식을 이용하여 해결한다면 직관적 사고에 도움을 준다. 약수를 쉽게 구하는 방법을 알더라도 직관적 사고인 0의 약수를 구할 수 없다면 이는 약수에 대한 개념을 이해하지 못한 결과가 나올 수 있는 것이다. 이처럼 직관적 사고는 잠정적 결론으로의 용기 있는 비약처럼 사고를 하고 있는 사람들에게는 가장 유용한 동전과 같은 것이다라고 말할 수 있다. 그래서 사고의 대상을 인지하는 활동으로써 다소 명확하지는 않지만 전체를 감지할 수 있는 사고이며 이론 전개의 방향과 기틀을 마련해주는 직관적 관념으로서 이론과 구체를 연결해주는 것이 바로 직관적 사고다. 그리고 구체에서 논리의 방향을 시사해 주는 것 또한 수학의 직관적 사고라고 정의할 수 있다.

 

수학의 직관적 사고-직관적 사고의 결함

다만 직관적 사고도 단 하나의 결함이 있는데 그것은 바로 직관주의적 태도는 개인적 편견에 사로잡히기 쉽다는 결함이 있기도 하다. 하나의 이론을 만들어내기 위해 어떤 과정을 직관해서 도출하다보면 자신이 생각한 방향이 무조 간 맞다는 편견에 사로잡힐 수 있다는 것이다. 그래서 직관적 사고를 하면서 동시에 그 이론을 도출해낸 과정을 바르게 이해하고 바른 개념을 형성하는 것이 필요하다. 정리와 공식은 단순히 생겨나는 것이 아니다. 특수하고 개별적인 내용을 직관적으로 파악하고 다양한 특징을 분석하고 연구한 후 어떤 하나의 정리와 공식이 생겨나는 것이다. 그래사 마지막에는 반드시 그것이 논리적으로 참인지에 대한 정당성을 반드시 확보해야 한다. 정당성을 확보해야만 혼자만의 편견에 사로잡히지 않은 이론과 증명이 생겨나는 것이다. 이는 수학 교육에 있어서 반드시 필요한 방법이다.