수학 생성 발전 과정 모형

수학 생성 발전 과정 모형-사고력

수학교육 목표는 논리적이고 창의적인 사고력을 기르는 것이다. 이와 같은 사고력은 수학의 생성 발전 과정과 밀접한 관계가 있다. 순수 수학 내용의 생성 발전 과정 모형을 이해하는 것은 곧 수학이라는 학문을 이해하는 첫 걸음이 된다. 순수 수학의 수학적인 내용이 학술적으로 어떻게 생성되었는지는 다음과 같다. 첫째, 수학은 공준 또는 공리와 같은 정의에서 출발한다. 필요하다고 인정되는 몇 개의 개념을 약속하는 정의를 함으로써 시작되는 것이다. 약속한 개념은 약속으로 출발하기 때문에 굳이 증명할 필요가 없다. 둘째, 이와 같이 약속한 정의를 기초로 활용의 측면에서 정의나 성질들을 발견한다. 이와 같이 발견된 정리나 성질들이 활용되기 위해서는 논리의 정당성을 검증받아야 하는데 논리의 정당성을 검증 받는 과정이 곧 증명이다. 정리나 성질은 반드시 증명되어야만 한다. 수학에서의 기초는 반드시 정리나 성질을 증명하는 것에서부터 시작되기 때문이다. 하지만 성질 중에 그들의 특성상 직관적으로 이해되는 것들은 증명없이 활용되는 예외도 있다. 이것 또한 반드시 알 필요가 있다. 그래서 수학 공부를 할 때 정리나 성질이 필요한 것들이 있고, 단순히 직관적 사고를 활용해 수학적 내용을 알아보는 방법이 있다. 셋째, 필요하다면 몇 개의 개념을 다시 정의한다. 한가지로 정의됐던 내용을 다시 두가지, 세 가지 방법으로 정의해보는 것이다. 넷째, 지금까지 정의한 모든 개념들과 증명된 모든 정리나 성질들을 이용하여 새로운 정리나 성질들을 발견한다. 물론 발견된 정리나 성질들은 모두 정당성이 검증되어야 하기 때문에 증명되어야만 한다.

 

수학 생성 발전 과정 모형-증명의 반복

어떤 성질들은 증명없이 활용되기도 한다. 이제 마지막으로 첫번째부터 세번째까지의 과정을 무한반복하면 된다. 무한반복하는 과정이 수학 생상 발전 과정 모형이 되는 것이다. 수학적으로 약속한 정의는 이미 약속했기 때문에 다시 증명할 필요가 전혀 없다. 약속한 정의는 가장 필요한 곳에서 알맞은 내용을 정의하는 것이다. 이와 같이 약속한 정의를 기초로 하여 활용의 측면에서 발견한 정리나 성질을 활용하기 위해 논리의 정당성을 검증받는 과정이 곧 증명이 되는 것이다. 증명은 논리적으로 참임을 밝히는 과정이다. 학생들은 증명하는 과정을 통하여 논리적인 사고력과 창의성을 기를 수 있다. 이와 같은 과정이 다시 한 번 수학 생성 발전 과정 모형이 된다. 이렇게 발견한 정리나 성질을 증명하는 직접적인 이유는 정리나 성질을 활용할 때 이들의 정당성을 확보하기 위함이다. 비록 정리나 성질이 발견되고 증명되었다고 해도 활용 가치가 없다면 정리나 성질로서의 의미가 전혀 없다. 그래서 활용할 가치가 있기 때문에 발견하여 증명하는 것이다. 같은 의미로 어떤 학년에서든 발견한 성질이라든지 공식 같은 것은 반드시 그의 활용 가치가 있는가를 다시 한 번 확인해야 한다. 왜 배울 가치가 있는가를 생각하면서 수학 생성 발전 과정 모형을 적용해보는 것이다. 자연수를 정의하고 이를 이용하여 수학 내용이 생성 발전하는 과정을 통하여 순수 수학 내용의 생성 발전 과정 모형을 설명할 수 있다. 먼저 자연수를 집합수와 순서수로 약속해본다. 그 후 자연수의 크기를 비교하는 방법, 자릿값을 나타내는 방법과 같은 성질을 발견할 수 있다. 덧셈과 뺄셈을 약속한다. 두 수를 바꾸어 더하거나 세 수의 더하는 순서를 바꾸는 덧셈의 교환 법칙과 결합 법칙 같은 성질을 발견하면 된다. 그 다음 곱셉과 나눗셈을 약속한다. 그 후, 두 수를 바꾸어 곱하거나 세 수의 곱하는 순서를 바꾸는 곱셈의 교환 법칙과 결합 법칙 같은 성질을 발견하면 된다. 위와 같은 과정이 반복적으로 계속된다면 그것이 곧 수학 생성 발전 과정 모형의 과정이다. 그래서 수학을 공부할 때는 반드시 순수 수학이 어떻게 생성되고 발전되어 왔었는지를 눈여겨보고 살펴보는 과정이 중요하다. 수학 내용의 발전과 순수 수학 내용의 발전은 어느 정도 차이가 있다. 수학적인 개념을 정의할 때 먼저 순수 수학적으로 어떤 내용을 정의하지 않는다. 구체적일 활동을 통해 초등학교에서는 어린아이들이 느낄 수 있도록 정의한다. 정리나 성질을 발견할 때에도 수학적인 논리로 증명을 통하여 정리나 성질을 발견하는 것이 아니고 활동을 중심으로 직관적으로 느끼면서 발견하게 된다.